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2014年江苏省盐城市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）（2014年江苏盐城）4的相反数是（ ）
A． 4 B． ﹣4 C． D．
考点： 相反数．来源进步网www.szjjedu.com
分析： 根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．
解 答： 解：根据概念，（4的相反数）+（4）=0，则4的相反数是﹣4．
故选B．
点评： 主要考查相反数的性质．
相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
2．（3分）（2014年江苏盐城）下列运算正确的是（ ）
A． a3?a2=a5 B． a6÷a2=a3 C． （a3）2=a5 D． （3a）3=3a3
考点： 同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
分析： 分别根据同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法及乘方法则、合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行计算即可．来源进步网www.szjjedu.com
解答： 解：A、原式=a2+3=a5，故本选项正确；
B、原式=a6﹣2=a4，故本选项错误；
C、原式=a6，故本选项错误；来源进步网www.szjjedu.com
D、原式=9a3，故本选项错误．
故选D．
点评： 本题考查的是同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法及乘方法则、合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键．来源进步网www.szjjedu.com
3．（3分）（2014年江苏盐城）如图，由3个大小相同的正方体搭成的几何体，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．
分析： 根据主视图的概念找出找到从正面看所得到的图形即可．
解答： 解：从正面看，易得第一层右边有1个正方形，第二层有2个正方形．
故选C．来源进步网www.szjjedu.com
点评： 本题 考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．（3分）（2014年江苏盐城）2014年5月，中俄两国签署了供气购销合同，从2018年起，俄罗斯开始向我国供气，最终达到每年380亿立方米．380亿这个数据用科学记数法表示为（ ）
A． 3.8×109 B． 3.8×1010 C． 3.8×1011 D． 3.8×1012
考点： 科学记数 法—表示较大的数．来源进步网www.szjjedu.com
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：将380亿用科学记数法表示为：3.8×1010．
故选：B．来源进步网www.szjjedu.com
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．来源进步网www.szjjedu.com
5．（3分）（2014年江苏盐城）不等式组 的解集是（ ）
A． x＞﹣1 B． x＞2 C． ﹣1＜x＜2 D． x＜2
考点： 不等式的解集．
分析： 根据不等式组解集的四种情况，进行求解即可．
解答： 解： 的解集是x＞2，
故选B．
点评： 本题考查了不等式组的解集，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．来源进步网www.szjjedu.com
6．（3分）（2014年江苏盐城）数据﹣1，0，1，2，3的平均数是（ ）
A． ﹣1 B． 0 C． 1 D． 5
考点： 算术平均数．
分析： 根据算术平均数的计算公式列出算式，再求出结果即可．
解答： 解：数据﹣1，0，1，2，3的平均数是 （﹣1+0+1+2+3）=1．
故选C．来源进步网www.szjjedu.com
点评： 此题考查了算术平均数，用到的知识点是算术平均数的计算公式，关键是根据题意列出算式．
7．（3分）（2014年江苏盐城）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ）
A． 40° B． 50° C． 60° D． 70°
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 计算题．来源进步网www.szjjedu.com
分析： 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数．
解答： 解：因为等腰三角形的两个底角相等，
又因为顶角是40°，
所以其底角为 =70°．
故选D．
点评： 此题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，解答此题的关键是知道等腰三角形的两个底角相等．来源进步网www.szjjedu.com
8．（3分）（2014年江苏盐城）如图，反比例函数y= （x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（ ）
A． B． C． D．
考点： 反比例函数综合题．
专题： 综 合题．
分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（﹣1，1）得到k=﹣1，即反比例函数解析式为y=﹣ ，且OB=AB=1，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y轴，则B点的坐标可表示为（﹣ ，t），于是利用PB=PB′得t﹣1=|﹣ |= ，然后解方程可得到满足条件的t的值．
解答： 解：如图，
∵A点坐标为（﹣1，1），
∴k=﹣1×1=﹣1，来源进步网www.szjjedu.com
∴反比例函数解析式为y=﹣ ，
∵OB=AB=1，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵PQ⊥OA，
∴∠OPQ=45°，
∵点B和点B ′关于直线l对称，
∴PB=PB′，BB′⊥PQ，来源进步网www.szjjedu.com
∴∠BPQ=∠B′PQ=45°，即∠B′PB=90°，
∴B′P⊥y轴，
∴B点的坐标为（﹣ ，t），
∵PB=PB′，
∴t﹣1=|﹣ |= ，
整理得t2﹣t﹣1=0，解得t1= ，t2= （舍去），
∴t的值为 ．
故选A．
点评： 本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质；会用求根公式法解一元二次方程．
来源进步网www.szjjedu.com
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
9．（3分）（2014年江苏盐城）“x的2倍与5的和”用代数式表示为 2x+5 ．
考点： 列代数式．
分析： 首先表示x的2倍为2x，再表示“与5的和”为2x+5．
解答： 解：由题意得：2x+5，
故答案为：2x+5．来源进步网www.szjjedu.com
点评： 此题主要考查了列代数式，关键是列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．
10．（3分）（2014年江苏盐城）使 有意义的x的取值范围是 x≥2 ．
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 当被开方数x﹣2为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．
解答： 解：根据二次根式的意义，得
x﹣2≥0，解得x≥2．
点评： 主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
11．（3分）（2014年江苏盐城）分解因式：a2+ab= a（a+b） ．
考点： 因式分解-提公因式法．
分析： 直接提取公因式a即可．
解答： 解：a2+ab=a（a+b）．来源进步网www.szjjedu.com
点评： 考查了对一个多项式因式分解的能力，本题属于基础题．当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式．
12．（3分）（2014年江苏盐城）一只自由飞行的小鸟，将随意地落在如图所示的方格地面上，每个小方格形状完全相同，则小鸟落在阴影方格地面上的概率是 ．
考点： 几何概率．
分析： 首先确定在阴影的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出小鸟落在阴影方格地面上的概率．
解答： 解：∵正方形被等分成16份，其中黑色方格占4份，
∴小鸟落在阴影方格地面上的概率为： = ．
故答案为： ．
点评： 此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
13．（3分）（2014年江苏盐城）化简： ﹣ = 1 ．
考点： 分式的加减法．
专题： 计算题．来源进步网www.szjjedu.com
分析： 原式利用同底数幂的减法法则计算即可得到结果．
解答： 解：原式=
=1．
故答案为：1．来源进步网www.szjjedu.com
点评： 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（3分）（2014年江苏盐城）如图，A、B两地间有一池塘阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB的中点D、E．若DE的长度为30m，则A、B两地的距离为 60 m．
考点： 三角形中位线定理．
专题： 应用题．来源进步网www.szjjedu.com
分析： 根据三角形中位线求出AB=2DE，代入求出即可．
解答： 解：∵D、E分别是AC、BC的中点，DE=30m，
∴AB=2DE=60m
故答案为：60．来源进步网www.szjjedu.com
点评： 本题考查了三角形的中位线的应用，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
15．（3分）（2014年江苏盐城）如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1=70°，则∠2= 70 °．
w w w .x k b 1.c o m
考点： 平行线的性质．来源进步网www.szjjedu.com
分析： 根据两直线平行，同位角相等可得∠C=∠1，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠C．
解答： 解：∵DE∥AC，
∴∠C=∠1=70°，
∵AF∥BC，来源进步网www.szjjedu.com
∴∠2=∠C=70°．
故答案为：70．
点评： 本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
16．（3分）（2014年江苏盐城）已知x（x+3）=1，则代数式2x2+6x﹣5的值为 ﹣3 ．
考点： 代数式求值；单项式乘多项式．
专题： 整体思想．
分析： 把所求代数式整理出已知条件的形式，然后代入数据进行计算即可得解．
解答： 解：∵x（x+3）=1，
∴2x2+6x﹣5=2x（x+3x）﹣5=2×1﹣5=2﹣5=﹣3．
故答案为：﹣3．来源进步网www.szjjedu.com
点评： 本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．
17．（3分）（2014年江苏盐城）如图，在矩形ABCD中，AB= ，AD=1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是 ﹣ ．
考点： 旋转的性质；矩形的性质；扇形面积的计算．
分析： 首先根据题意利用锐角三角函数关系得出旋转角的度数，进而求出S△AB′C′，S扇形BAB′，即可得出阴影部分面积．
解答： 解：∵在矩形ABCD中，AB= ，AD=1，
∴tan∠CAB= = ，AB=CD= ，AD=BC= ，
∴∠CAB=30°，
∴∠BAB′=30°，
∴S△AB′C′= ×1× = ，
S扇形BAB′= = ，
S阴影=S△AB′C′﹣S扇形BAB′= ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
点评： 此题主要考查了矩形的性质以及旋转的性质以及扇形面积公式等知识，得出旋转角的度数是解题关键．来源进步网www.szjjedu.com
18．（3分）（2014年江苏盐城）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn的值为 24n﹣5 ．（用含n的代数式表示，n为正整数）
考点： 正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
专题： 规律型．
分析： 根据直线解析式判断出直线与x轴的夹角为45°，从而得到直线与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角 形，再根据点A的坐标求出正方形的边长并得到变化规律表示出第n个正方形的边长，然后根据阴影部分的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可．
解答： 解：∵函数y=x与x轴的夹角为45°，
∴直线y=x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，
∵A（8，4），
∴第四个正方形的边长为8，
第三个正方形的边长为4，
第二个正方形的边长为2，
第一个正方形的边长为1，
…，
第n个正方形的边长为2n﹣1，w w w .x k b 1.c o m
由图可知，S1= ×1×1+ ×（1+2）×2﹣ ×（1+2）×2= ，
S2= ×4×4+ ×（2+4）×4﹣ ×（2+4）×4=8，
…，
Sn为第2n与第2n﹣1个正方形中的阴影部分，
第2n个正方形的边长为22n﹣1，第2n﹣1个正方形的边长为22n﹣2，
Sn= ?22n﹣2?22n﹣2=24n﹣5．来源进步网www.szjjedu.com
故答案为：24n﹣5．
点评： 本题考查了正方形的性质，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，依次求出各正方形的边长是解题的关键，难点在于求出阴影Sn所在的正方形和正方形的边长．
三、解答题（共10小题，满分96分）
19．（8分）（2014年江苏盐城）（1）计算： +|﹣1|﹣（ ﹣1）0
（2）解方程： = ．
考点： 实数的运算；零指数幂；解分式方程．来源进步网www.szjjedu.com
专题： 计算题．
分析： （1）原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用零指数幂法则计算即可得到结果；来源进步网www.szjjedu.com
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：（1）原式=3+1﹣1=3；
（2）去分母得：3x+3=2x﹣2，
解得：x=﹣5，来源进步网www.szjjedu.com
经检验x=﹣5是分式方程的解．
点评： 此题考查了实数的运算，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（8分）（2014年江苏盐城）先化简，再求值：（a+2b）2+（b+a）（b﹣a），其中a=﹣1，b=2．
考点： 整式的混合运算—化简求值．来源进步网www.szjjedu.com
分析： 先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
解答： 解：（a+2b）2+（b+a）（b﹣a）
=a2+4ab+4b2+b2﹣a2
=4ab+5b2，来源进步网www.szjjedu.com
当a=﹣1，b=2时，原式=4×（﹣1）×2+5×22=12．
点评： 本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的化简和计算能力，题目比较好．来源进步网www.szjjedu.com
21．（8分）（2014年江苏盐城）某校课外兴趣小组在本校学生中开展“感动中国2013年度人物”先进事迹知晓情况专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，划分类别后的数据整理如下表：
类别 A B C D
频数 30 40 24 b
频率 a 0.4 0.24 0.06
（1）表中的a= 0.3 ，b= 6 ；
（2）根据表中数据，求扇形统计图中类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数；
（3）若该校有学生1000名，根据调查结果估计该校学生中类别为C的人数约为多少？
考点： 频数（率）分布表；用样本估计总体；扇形统计图．
分析： （1）根据B类频数和频率求出总数，再根据频数、频率、总数之间的关系分布进行计算即可；来源进步网www.szjjedu.com
（2）用类别为B的学生数所占的百分比乘以360°，即可得出答案；
（3）用1000乘以类别为C的人数所占的百分比，即可求出该校学生中类别为C的人数．
解答： 解：（1）问卷调查的总人数是： =100（名），
a= =0.3，b=100×0.06=6（名），
故答案为：0.3，6；来源进步网www.szjjedu.com
（2）类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数是：360°×0.4=144°；
（3）根据题意得：1000×0.24=240（名）．来源进步网www.szjjedu.com
答：该校学生中类别为C的人数约为240名．
点评： 此题考查了扇形统计图和频数（率）分布表，关键是正确从扇形统计图和表中得到所用的信息．
22．（8分）（2014年江苏盐城）如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等．
（1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为 ；
（2）小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
考点： 游戏公平性；列表法与树状图法．
专题： 计算题．
分析： （1）三个等可能的情况中出现1的情况有一种，求出概率即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，求出两人获胜的概率，比较即可得到结果．
解答： 解：（1）根据题意得：随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为 ；
故答案为： ；
（2）列表得：
1 2 3
1 （1，1） （2，1） （3，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3）
所有等可能的情况有9 种，其中两数之积为偶数的情况有5种，之积为奇数的情况有4种，
∴P（小明获胜）= ，P（小华获胜）= ，
∵ ＞ ，
∴该游戏不公平．
点评： 此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
23．（10分）（2014年江苏盐城）盐城电视塔是我市标志性建筑之一．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB．小明在D处用高1.5m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，然后向电视塔前进224m到达E处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°．求电视塔的高度AB．（ 取1.73，结果精确到0.1m）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析： 设AG=x，分别在Rt△AFG和Rt△ACG中，表示出CG和GF的长度，然后根据DE=224m，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AB．
解答： 解：设AG=x，
在Rt△AFG中，
∵tan∠AFG= ，
∴FG= ，
在Rt△ACG中，
∵tan∠ACG= ，
∴CG= = x，
∴ x﹣ =224，
解得：x≈193.8．
则AB=193.8+1.5=195.3（米）．
答：电视塔的高度AB约为195.3米．来源进步网www.szjjedu.com
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．
24．（10分）（2014年江苏盐城）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD．来源进步网www.szjjedu.com
（1）求∠D的度数；来源进步网www.szjjedu.com
（2）若CD=2，求BD的长．
考点： 切线的性质.
分析： （1）根据等腰三角形性质和三角形外角性质求出∠COD=2∠A，求出∠D=∠COD，根据切线性质求出∠OCD=90°，即可求出答案；来源进步网www.szjjedu.com
（2）求出OC=CD=2，根据勾股定理求出BD即可．
解答： 解：（1）∵OA=OC，来源进步网www.szjjedu.com
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A，
∵∠D=2∠CAD，来源进步网www.szjjedu.com
∴∠D=∠COD，
∵PD切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=∠COD=45°；
（2）∵∠D=∠COD，CD=2，
∴OC=OB=CD=2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：22+22=（2+BD）2，
解得：BD=2 ﹣2．
点评： 本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质的应用，主要考查学生的推理能力．
25．（10分）（2014年江苏盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；来源进步网www.szjjedu.com
（2）若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO= ，求EM：MF的值．
考点： 菱形的性质；平行四边形的判定．
分析： （1）根据两直线平行，内错角相等可得∠AEO=∠CFO，然后利用“角角边”证明△AEO和△CFO全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；来源进步网www.szjjedu.com
（2）设OM=x，根据∠MBO的正切值表示出BM，再根据△AOM和△OBM相似，利用相似三角形对应边成比例求出AM，然后根据△AEM和△BFM相似，利用相似三角形对应边成比例求解即可．来源进步网www.szjjedu.com
解答： （1）证明：在菱形ABCD中 ，AD∥BC，OA=OC，OB=OD，
∴∠AEO=∠CFO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△C FO（AAS），
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形BFDE是平行四边形；
（2）解：设OM=x，
∵EF⊥AB，tan∠MBO= ，
∴BM=2x，
又∵AC⊥BD，
∴△AOM∽△OBM，
∴ = ，
∴AM= = x，
∵AD∥BC，
∴△AEM∽△BFM，
∴EM：MF=AM：BM= x：2x=1：4．
点评： 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，难点在于（2）两次求出三角形相似．
26．（10分）（2014年江苏盐城）一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后都停留一段时间，然后分别按原速一同驶往甲地后停车．设慢车行驶的时间为x小时，两车之间的距离为y千米，图中折线表示y与x之间的函数图象，请根据图象解决下列问题：
（1）甲乙两地之间的距离为 560 千米；
（2）求快车和慢车的速度；
（3）求线段DE所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
考点： 一次函数的应用．
分析： （1）根据函数图象直接得出甲乙两地之间的距离；
（2）根据题意得出慢车往返分别用了4小时，慢车行驶4小时的距离，快车3小时即可行驶完，进而求出快车速度以及利用两车速度之比得出慢车速度；
（3）利用（2）所求得出D，E点坐标，进而得出函数解析式．
解答： 解：（1）由题意可得出：甲乙两地之间的距离为560千米；
故答案为：560；
（2）由题意可得出：慢车往返分别用了4小时，慢车行驶4小时的距离，快车3小时即可行驶完，
∴设慢车速度为3xkm/h，快车速度为4xkm/h，
∵由题意可得出：快车行驶全程用了7小时，
∴快车速度为： =80（km/h），
∴慢车速度为：80× =60（km/h），
（3）由题意可得出：当行驶7小时后，慢车距离甲地60km，
∴D（8，60），
∵慢车往返各需4小时，
∴E（9，0），
设DE的解析式为：y=kx+b，
∴ ，
解得： ．
∴线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为：y=﹣60x+540（8≤x≤9）．
点评： 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的应用，根据题意得出D，E点坐标是解题关键．
27．（12分）（2014年江苏盐城）【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．
小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．
小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．
【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF；
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：
【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；
【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD?CE=DE?BC，AB=2 dm，AD=3dm，BD= dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．
考点： 四边形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
专题： 压轴题；探究型．
分析： 【问题情境】如下图②，按照小军、小俊的证明思路即可解决问题．
【变式探究】如下图③，借鉴小军、小俊的证明思路即可解决问题．
【结论运用】易证BE=BF，过点E作EQ⊥BF，垂足为Q，如下图④，利用问题情境中的结论可得PG+PH=EQ，易证EQ=DC，BF=DF，只需求出BF即可．
【迁移拓展】由条件AD?CE=DE?BC联想到三角形相似，从而得到∠A=∠ABC，进而补全等腰三角形，△DEM与△CEN的周长之和就可转化为AB+BH，而BH是△ADB的边AD上的高，只需利用勾股定理建立方程，求出DH，再求出BH，就可解决问题．
解答： 解：【问题情境】证明：（方法1）连接AP，如图②
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
且S△ABC=S△ABP+S△ACP，
∴ AB?CF= AB?PD+ AC?PE．
∵AB=AC，
∴CF=PD+PE．
（方法2）过点P作PG⊥CF，垂足为G，如图②．
∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，
∴∠CFD=∠FDG=∠FGP=90°．
∴四边形PDFG是矩形．
∴DP=FG，∠DPG=90°．
∴∠CGP=90°．
∵PE⊥AC，
∴∠CEP=90°．
∴∠PGC=∠CEP．
∵∠BDP=∠DPG=90°．
∴PG∥AB．
∴∠GPC=∠B．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
∴∠GPC=∠ECP．
在△PGC和△CEP中，
∴△PGC≌△CEP．
∴CG=PE．
∴CF=CG+FG
=PE+PD．来源进步网www.szjjedu.com
【变式探究】
证明：（方法1）连接AP，如图③．
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
且S△ABC=S△ABP﹣S△ACP，
∴ AB?CF= AB?PD﹣ AC?PE．
∵AB=AC，
∴CF=PD﹣PE．
（方法2）过点C作CG⊥DP，垂足为G，如图③．
∵PD⊥AB，CF⊥AB，CG⊥DP，
∴∠CFD=∠FDG=∠DGC=90°．x k b 1 . c o m
∴四边形CFDG是矩形．
∴CF=GD，∠DGC=90°．
∴∠CGP=90°．来源进步网www.szjjedu.com
∵PE⊥AC，
∴∠CEP=90°．
∴∠CGP=∠CEP．来源进步网www.szjjedu.com
∵CG⊥DP，AB⊥PD，
∴∠CGP=∠BDP=90°．
∴CG∥AB．
∴∠GCP=∠B．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
∵∠ACB=∠PCE，
∴∠GCP=∠ECP．
在△CGP和△CEP中，
∴△CGP≌△CEP．
∴PG=PE．
∴CF=DG=DP﹣PG
=DP﹣PE．来源进步网www.szjjedu.com
【结论运用】过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如 图④，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．
∵AD=8，CF=3，
∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5．
由折叠可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF．
∴DF=5．
∵∠C=90°，
∴DC=
=
=4．
∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，
∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC．X|k |B | 1 . c |O |m
∴四边形EQCD是矩形．
∴EQ=DC=4．
∵AD∥BC，来源进步网www.szjjedu.com
∴∠DEF=∠EFB．
∵∠BEF=∠DEF，
∴∠BEF=∠EFB．
∴BE=BF．
由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ．
∴PG+PH=4．
∴PG+PH的值为4．
【迁移拓展】延长AD、BC交于点F，作BH⊥AF，垂足为H，如图⑤．
∵AD?CE=DE?BC，
∴ = ．
∵ED⊥AD，EC⊥CB，
∴∠ADE=∠BCE=90°．
∴△ADE∽△BCE．
∴∠A=∠CBE．
∴FA=FB．
由问题情境中的结论可得：ED+EC=BH．
设DH=xdm，
则AH=AD+DH=（3+x）dm．
∵BH⊥AF，
∴∠BHA=90°．
∴BH2=BD2﹣DH2=AB2﹣AH2．
∵AB=2 ，AD=3，BD= ，
∴（ ）2﹣x2=（2 ）2﹣（3+x）2．
解得：x=1．
∴BH2=BD2﹣DH2
=37﹣1=36．
∴BH=6．
∴ED+EC=6．
∵∠ADE=∠BCE=90°，来源进步网www.szjjedu.com
且M、N分别为AE、BE的中点，
∴DM=EM= AE，CN=EN= BE．
∴△DEM与△CEN的周长之和
=DE+DM+EM+CN+EN+EC
=DE+AE+BE+EC
=DE+AB+EC
=DE+EC+AB
=6+2 ．
∴△DEM与△CEN的周长之和为（6+2 ）dm．
点评： 本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．
28．（12分）（2014年江苏盐城）如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，﹣1），另一顶点B坐标为（﹣2，0），已知二次函数y= x2+bx+c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A′D′∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A′D′与y轴重合时运动停止．
（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；
（2）若运动过程中直尺的边A′D′交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；
（3）如图②，设点P为直尺的边A′D′上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ= 时，线段PA、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系．
（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D′在抛物线外．）
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）求C点坐标，考虑作x，y轴垂线，表示横纵坐标，易得△CDA≌△AOB，所以C点坐标易知．进而抛物线解析式易得．来源进步网www.szjjedu.com
（2）横坐标相同的两点距离，可以用这两点的纵坐标作差，因为两点分别在直线BC与抛物线上，故可以利用解析式，设横坐标为x，表示两个纵坐标．作差记得关于x的二次函数，利用最值性质，结果易求．
（3）计算易得，BC= ，因为Q为BC的中点，PQ= 恰为半径，则易 作圆，P点必在圆上．此时连接PB，PC，PA，因为BC为直径，故BP2+CP2=BC2为定值，而PA不固定，但不超过BC，所以易得结论BP2+CP2≥PA2，题目要求考虑三种情况，其中P在抛物线上时，P点只能与B或C重合，此时，PA，PB，PC可求具体值，则有等量关系．
解答： 解：
（1）
如图1，过点C作CD⊥y轴于D，此时△CDA≌△AOB，
∵△CDA≌△AOB，
∴AD=BO=2，CD=AO=1，
∴OD=OA+AD=3，
∴C（﹣1，﹣3）．
将B（﹣2，0），C（﹣1，﹣3）代入抛物线y= x2+bx+c，
解得 b= ，c=﹣3，
∴抛物线的解析式为y= x2+ x﹣3.
（2）
设lBC：y=kx+b，
∵B（﹣2，0），C（﹣1，﹣3），X k b 1 . c o m
∴ ，
解得 ，
∴lBC：y=﹣3x﹣6，
设M（xM，﹣3xM﹣6），N（xN， xN2+ xN﹣3），
∵xM=xN（记为x），yM≥yN，
∴线段MN长度=﹣3x﹣6﹣（ x2+ x﹣3）=﹣ （x+ ）2+ ，（﹣2≤x≤﹣1），
∴当x=﹣ 时，线段MN长度为最大值 ．
（3）
答：P在抛物线外时，BP2+CP2≥PA2；P在抛物线上时，BP+CP= AP；P在抛物线内，BP2+CP2≥PA2．
分析如下：
如图2，以Q点为圆心， 为半径作⊙Q，
∵OB=2，OA=1，
∴AC=AB= = ，
∴BC= = ，
∴BQ=CQ= ，
∵∠BAC=90°，
∴点B、A、C都在⊙Q上．
①P在抛物线外，
如图3，在抛物线外的弧BC上任找一点P，连接PB，PB，PA，
∵BC为直径，
∴BP2+CP2=BC2，BC≥PA，
∴BP2+CP2≥PA2．
②P在抛物线上，此时，P只能为B点或者C点，
∵AC=AB= ，
∴AP= ，
∵BP+CP=BC= ，
∴BP+CP= AP．
③P在抛物线内，同理①，
∵BC为直径，
∴BP2+CP2=BC2，BC≥PA，
∴BP2+CP2≥PA2．
点评： 本题考查了三角形全等、抛物线图象与性质、函数性质及圆的基础知识，是一道综合性比较强的题目．
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